【ポアソンの関係式】理想気体の断熱変化

理想気体を等温変化させるとき、 $PV=\mathrm{一}\mathrm{定}$ の関係がある。

今回は理想気体を断熱変化( $d^{\prime }Q=0$ )させたとき、$P$ と $V$ の間にどのような関係が成り立つのか考えてみる。

粒子数に変化はないものとする。

ポアソンの関係式

結果からいうと次のような関係式が導かれる。

今回導くのは上の式（統計力学への導入のため）ですが、一般的な熱力学では下のようなポアソンの関係式のほうが有名です。

どちらの式も本質は同じです。

導出

まず、熱力学第一法則( $d^{\prime }Q=dU+PdV$ )を考える。断熱変化の場合、$d^{\prime }Q=0$ である。また、理想気体の内部エネルギーは近似的に

$$U=cnRT$$

とかけるので( $c$ は正の定数、$n$ はモル数)、

$$cnRdT=-PdV$$

という関係が成り立つ。状態方程式 $PV=nRT$ を用いて $P$ を消去すると

$$cT=-\frac{T}{V}dV$$

となる。ここで積分をしていくと

$$c\int \frac{1}{T}dT=-\int \frac{1}{V}dV$$

$$c\ln T=-\ln V+\mathrm{定}\mathrm{数}$$

$$\ln T{V}^{\frac{1}{c}}=\mathrm{定}\mathrm{数}$$

$$T{V}^{\frac{1}{c}}=\mathrm{定}\mathrm{数}$$

以上で導出は終わりです。

これで「断熱的に理想気体が圧縮されると、系の温度が上昇する」という中学生でも簡単に想像のつく結果が得られました。

最後に

ちなみに $c$ というのはただの定数ではなくて、かなり意味のある値です。

意味というのはこれは「分子の自由度」と関係のかなり深い値なのです。

これについてはのちの統計力学で説明していくので、いまはあまり考えなくてもいいでしょう。