ラグランジュの未定乗数法

ラグランジュの未定乗数法とは

ラグランジュの未定乗数法とは、条件がある関数の極値を求める方法です。

というものです。

証明

まず、制約条件がない場合に極値を求めるときは全微分＝０です。つまり、$$\begin{array}{}\text{(1)}& df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0\end{array}$$よって

$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

という式を解けば、極値がもとまります。

次に、制約条件 $g(x,y)=c$(定数) がある場合を考えます。制約条件はイコール定数の式なので制約条件の全微分は０となります。

$$dg=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial y}dy=0$$

この式を変形すると

$$dy=-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}dx}{\frac{\partial g}{\partial y}}$$

となります。この $dy$ を先ほどの(1)式の $dy$ に代入すると、$$\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}(-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}dx}{\frac{\partial g}{\partial y}})=0$$

式変形をしていくと

$$\frac{\partial f}{\partial x}dx-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}dx=0$$

$$\therefore (\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}\cdot \frac{\partial g}{\partial x})dx=0$$

$$\therefore \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}=0$$

ここで極値をとる点では$\frac{\partial f}{\partial y}=f_y$も$\frac{\partial g}{\partial y}=g_y$も定数なので$\frac{f_y}{g_y}=\lambda$とすると

$$0=\frac{\partial f}{\partial x}-\lambda \frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial (f-\lambda g)}{\partial x}$$が得られます。

また、$\frac{f_y}{g_y}=\lambda$より、

$$\frac{\partial (f-\lambda g)}{\partial x}=0$$

となる。これに$g(x,y)=c$(定数)を表す$$\frac{\partial (f-\lambda g)}{\partial \lambda }=0$$を追加すると

$$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0 (L(x,y)=f(x,y)-\lambda g(x,y))$$が成り立つことがわかります。