ラグランジュの未定乗数法

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ラグランジュの未定乗数法とは

ラグランジュの未定乗数法とは、条件がある関数の極値を求める方法です。

ラグランジュの未定乗数法

$g(x,y)=c$(定数) という条件下で関数 $f(x,y)$ がとる極値を求める。

そのとき$L(x,y)=f(x,y)-{\lambda}g(x,y)$について、$$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$$を計算したときの解が極値をとる点である。

というものです。

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証明

まず、制約条件がない場合に極値を求めるときは全微分=0です。つまり、$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0 \tag{1}$$よって

$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

という式を解けば、極値がもとまります。

次に、制約条件 $g(x,y)=c$(定数) がある場合を考えます。制約条件はイコール定数の式なので制約条件の全微分は0となります。

$$dg=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial y}dy=0$$

この式を変形すると

$$dy=-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}dx}{\frac{\partial g}{\partial y}}$$

となります。この $dy$ を先ほどの(1)式の $dy$ に代入すると、$$\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}(-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}dx}{\frac{\partial g}{\partial y}})=0$$

式変形をしていくと

$$\frac{\partial f}{\partial x}dx-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}dx=0$$

$$\therefore (\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}\cdot \frac{\partial g}{\partial x})dx=0$$

$$\therefore \frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial y}}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}=0$$

ここで極値をとる点では$\frac{\partial f}{\partial y}=f_y$も$\frac{\partial g}{\partial y}=g_y$も定数なので$\frac{f_y}{g_y}=\lambda$とすると

$$0=\frac{\partial f}{\partial x}-\lambda\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial(f-\lambda g)}{\partial x}$$が得られます。

また、$\frac{f_y}{g_y}=\lambda$より、

$$\frac{\partial(f-\lambda g)}{\partial x}=0$$

となる。これに$g(x,y)=c$(定数)を表す$$\frac{\partial(f-\lambda g)}{\partial \lambda}=0$$を追加すると

$$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0 (L(x,y)=f(x,y)-{\lambda}g(x,y))$$が成り立つことがわかります。

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物理を勉強するたぬき

高専から地方国立大に編入した現役大学生です。大学では物理学を専攻しています。編入学の情報などを「物理を勉強するたぬき」というブログサイトで発信しています。
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