【行列形式の量子力学】量子力学の基礎

行列形式の量子力学に入る前にさらっと量子力学の基礎について書いていきます。

粒子性と波動性

現代物理を少しでも知っている人なら聞いたことがあると思いますが、電子などの粒子（量子）には「粒子性」と「波動性」という性質があります。

もともと古典物理学では光は波だと考えられていました。

しかし、アインシュタインの見つけた光電効果によって光には「粒子性」という性質があることが裏付けられました。

また、ド・ブロイは「光だけではなく電子などの物質も粒子性と波動性を併せ持っている」という仮設を立てました。

以下の式が粒子性と波動性を結ぶ関係式です。

アインシュタインード・ブロイの関係式

$$E=h\nu (=\hslash \omega )$$$$p=\frac{h}{\lambda }(=\hslash k)$$

量子化とシュレーディンガー方程式

量子化

量子力学と古典力学の大きな違いとして、古典力学ではある値を持った運動量$p$やエネルギー$E$などの物理量は、量子力学では下のような演算子となります。

$$p⟶\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$$$$E⟶i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$$

このような書き換えを量子化と呼びます。

シュレーディンガー方程式

ハミルトニアン$H=\frac{p^2}{2m}+V(\overrightarrow{r})$が$E$に等しいという力学的エネルギー保存則( $H=E$ )を量子化すると

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=H\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t) \mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{に}\mathrm{依}\mathrm{存}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{シ}\mathrm{ュ}\mathrm{レ}\mathrm{ー}\mathrm{デ}\mathrm{ィ}\mathrm{ン}\mathrm{ガ}\mathrm{ー}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}$$

という式が得られます。（$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$は波動関数）

波動関数

波動関数の説明をしておきます。

波動関数には

$$|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t){|}^{2}d\overrightarrow{r}＝\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{時}\mathrm{刻}\mathrm{に}\mathrm{粒}\mathrm{子}\mathrm{が}\mathrm{位}\mathrm{置}\overrightarrow{r}\mathrm{の}\mathrm{微}\mathrm{小}\mathrm{体}\mathrm{積}d\overrightarrow{r}(=dxdydz)\mathrm{内}\mathrm{に}\mathrm{見}\mathrm{出}\mathrm{さ}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{確}\mathrm{率}$$

という意味が含まれます。

確率はすべて足すと１になるので

$$\int |\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t){|}^{2}d\overrightarrow{r}=1 \mathrm{規}\mathrm{格}\mathrm{化}\mathrm{条}\mathrm{件}$$

が成り立ちます。

ある物理量$F(\overrightarrow{r},p)$を観測するときの期待値は

$$⟨F⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(\overrightarrow{r},t)F\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)d\overrightarrow{r}$$

として求める事ができます。

時間を含まないシュレーディンガー方程式

存在確率$|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t){|}^2$が時間$t$に依存しない場合（定常状態）を考えてみましょう。

定常状態において$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=e^{-i\frac{E}{\hslash }t}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$とおくと

$$H\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=E\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r}) \mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{を}\mathrm{含}\mathrm{ま}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{シ}\mathrm{ュ}\mathrm{レ}\mathrm{ー}\mathrm{デ}\mathrm{ィ}\mathrm{ン}\mathrm{ガ}\mathrm{ー}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{式}$$

が得られます。

一般にこのような形をした$E$に当たる値を固有値、$Phi(\overrightarrow{r})$にあたる関数を固有関数といいます。

この場合固有エネルギーは飛び飛びの値を持ちます。

$$E={\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3\cdots$$

そのためそれに対応した形で固有関数も飛び飛びの固有状態を取ります。

$$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})={\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3\cdots$$

固有関数は

$$\int {\varphi }_n^{\ast }{\varphi }_{n^{\prime }}d\overrightarrow{r}=⟨{\varphi }_n|{\varphi }_{n^{\prime }}⟩={\delta }_{n,n^{\prime }} \mathrm{規}\mathrm{格}\mathrm{化}\mathrm{・}\mathrm{直}\mathrm{交}\mathrm{性}$$

を満たします。